Publicaciones respetables en el ámbito internacional y redes sociales que comentan asuntos científicos se han ocupado profusamente en estos días de un tema que en esta ocasión me he propuesto compartir con mis eventuales lectores de La Jornada Aguascalientes.
Pues bien, a principios de esta semana los matemáticos que asisten al Foro de Laureados organizado por la Universidad de Heidelberg (*) vivieron momentos de inesperado azoro. Ese excitado estado de ánimo tuvo origen en un anuncio que hizo Sir Michael Atiyah.
Atiyah es un eminente matemático británico que ha recibido las más altas distinciones y premios por las contribuciones hechas, en el curso de su carrera académica, a la disciplina que profesa. Por tanto, lo que exponga en el ámbito de su competencia es digno de examinarse con cuidado.
¿Pero qué fue lo que anunció? Pues nada menos que una demostración simple y sencilla, conseguida por él, de la hipótesis de Riemann (**). Esa hipótesis o conjetura, según el consenso de los especialistas, es uno de los problemas no resueltos más difíciles de la matemática. Hasta ahora había resistido los esfuerzos de muy connotados expertos a lo largo de 160 años. (Es probable que los siga resistiendo como se aclarará más adelante).
Para describir de un modo muy general el valor de esa hipótesis conviene, creo, ensayar un pequeño rodeo. La hipótesis o conjetura de Riemann tiene una cierta relación con los números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 17, son números de ese tipo en el conjunto de los números naturales (1, 2, 3, 4, 5…); es decir, son números que sólo son divisibles entre 1 y entre ellos mismos. (Por ejemplo, 11 sólo admite como divisores enteros el 1 y el 11 mismo; ningún otro). Los números que no son primos se dice que son compuestos. Y el teorema fundamental de la teoría de números establece que todo número compuesto se descompone en el producto de sus factores primos, que es único, salvo por el orden en que se disponen. Por supuesto, si siempre se ordenan de menor a mayor o de mayor a menor, la salvedad se elimina. (Por ejemplo:15, que es compuesto, es igual a 3 x 5, que son los únicos divisores primos que admite, ordenados de menor a mayor y que constituyen una representación única de ese número: no hay otro número natural compuesto que tenga esos mismos factores primos.
Se sabe, gracias a una muy elegante y celebrada demostración de Euclides, que el número de números primos es infinito: dado cualquier primo, por grande que sea, siempre habrá uno mayor. Por otra parte, a medida que se avanza en la secuencia de primos éstos se van distanciando entre sí cada vez más. Por consiguiente, si se considera un cierto número primo muy grande es difícil en extremo saber cuál será el siguiente. Es decir, en principio pareciera que la distribución de estos números es completamente aleatoria.
Ahora bien, lo que hizo Riemann fue proponer una conjetura que implica que si se demostrase su validez contribuiría a reconstruir con suficiente exactitud la distribución de todos los números primos. Se han hecho ya miles de pruebas vía el cálculo con poderosas computadoras y los resultados que se derivan de la conjetura de Riemann son correctos. Sin embargo, hasta ahora nadie había podido demostrar si es válida o no cuando se trata, no de una gran cantidad de resultados específicos, sino de su validez para el conjunto de todos los resultados posibles, que son, como se sabe, infinitos.
La conjetura aludida tiene una gran trascendencia para la propia matemática, ya que muy relevantes resultados en esa disciplina se confirmarían si fuese cierta. Pero, además, tiene también consecuencias prácticas de gran envergadura. Influye notablemente en la llamada Criptografía, que es la disciplina que se ocupa de la encriptación de textos y en especial, hoy en día, de textos digitales. Una buena parte de la seguridad, eficiencia y confidencialidad de las transacciones en economía digital dependen de los números primos; de la dificultad extrema de encontrar los factores primos de un número grande producto de dos números de ese tipo. La extrema dificultad de ese proceso es la que permite, entre otros procedimientos, la creación de los códigos públicos de seguridad digital, códigos que puede conocer cualquier individuo, pero que son extraordinariamente difíciles de descifrar por quienes no conocen el código privado de su poseedor. Un caso bien conocido de código público es la firma electrónica. En el contexto anterior debe quedar claro que, si la demostración de la conjetura de Riemann es correcta, entonces el segmento de las transacciones digitales que usa códigos públicos estaría frente a graves riesgos de seguridad.
Por su relevancia teórica y su influencia en el mundo de la economía y en otros aspectos de la vida social, la conjetura de Riemann se ha considerado como un problema de especial significación en el mundo contemporáneo. Tanto es así que el Instituto Clay de Matemáticas (***) ha ofrecido un premio de un millón de dólares a quien sea capaz de demostrarla.
Los hechos comentados son los responsables de la agitación intelectual en la comunidad de matemáticos que ha conocido el anuncio de Sir Michael Atiyah. Además de lo dicho hasta aquí, otro punto que es digno de mención es que Atiyah es una persona 89 años. Si su demostración es correcta habrá exhibido un contraejemplo que restaría aceptación a la generalizada creencia de que los matemáticos mayores de 40 años ya no tienen la capacidad de hacer aportaciones originales en su materia.
Sin embargo, es cierto también, por lo que se ha escrito en los últimos días sobre este tema, que los matemáticos que ha revisado en forma preliminar las líneas generales de la demostración se muestran bastante escépticos acerca de su validez. Habrá que estudiarla con todo cuidado antes de un pronunciamiento formal acerca de su eventual corrección.
No obstante la incertidumbre propia de la situación anterior, desde mi personal punto de vista creo que aun cuando la demostración sea errónea, el hecho de que una persona de 89 años tenga la capacidad y el valor de hacer una propuesta como la que venimos comentando es un hecho notable. Sobre todo, si se expone ante un auditorio de jóvenes investigadores en plena madurez. Creo, asimismo, que es un poderoso estímulo para fomentar el trabajo intelectual de las personas de la tercera edad, (incentivo que celebro ya que yo me cuento entre ellas).
Finalmente, lo que sí aceptan algunos de quienes dudan de la validez de la demostración es que a pesar de que Atiyah pueda estar equivocado, seguramente abrirá nuevas y fecundas líneas de investigación. Esta creencia se funda en que, según se dice, la idea de Atiyah es radicalmente nueva respecto de lo que se ha hecho hasta ahora para demostrar la multicitada conjetura de Riemann. No es poco ¿verdad?
Por lo pronto, armémonos de paciencia y esperemos a ver cómo termina este sugestivo asunto.
(*) El Foro de Laureados es un evento que organiza la Universidad de Heidelberg, en Alemania, con el propósito de que jóvenes investigadores convivan y conversen con académicos galardonados con los más prestigiosos premios en matemáticas y cómputo teórico.
(**) Bernhard Riemann (1826-1866) es considerado uno de los diez matemáticos más eminentes de todos los tiempos. Entre sus contribuciones más significativas está la creación de una geometría no euclídea en la que se sustenta la teoría general de la relatividad de Einstein.
(***) El Instituto Clay de Matemáticas es una fundación privada sin fines de lucro con sede en Cambridge, Massachusetts. Tiene el propósito de estimular el avance del conocimiento matemático, así como su difusión. Ha establecido una lista llamada “los siete problemas del milenio”. Ofrece un millón de dólares por la resolución de cada uno de ellos. Uno de esos problemas, la conjetura de Poincaré, ya fue resuelto por el joven matemático ruso Grigori Perelman, quien por cierto no aceptó ni la Medalla Fields que se le había otorgado ni el millón de dólares que le correspondía, pero esa es otra historia. La hipótesis de Riemann es otro de los problemas del milenio.
